RESUM MATEMATIKA KLS 11 SEM.2

Juni 09, 2016

RESUM MATEMATIKA KLS 11 SEM.2

BAB 7

STATISTIKA

1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLfI2NyDtxCijN6sfne5UqOq7aFHetSc07h92ak84UXSHF-vGmDmV_a4UvgSK-NZRACave-hZX8QdU_0Yo-oXDBLpvJNQbR7QmCFkJao9NYS2A9tc8cTeiACglCufJYH7thdGYhAXQgo7e/s320/statis1.jpg

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGb0WR1tBqrELWGHh0P3Ez6bBJQhTsMmgu8pCndOwJR0zd8RqN2dfOW_4xq6IZnWKI2FfUANEGvuY_dm76bfN_9OeNtd7ylJBAuo3QJT8E7WGvChE46v7nONU3-xOprQZqQ0riRGhFGjHk/s320/statis2.jpg

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbqJKkwDy2RUPflbcKdOP_pZt0zZTmLwa6Hiw3OFsExX-rqHxGCFh8-Yfqd_GLza6LmI1dJTnsmQFTwNzR5Xm8kaw7Y_ihPc1swyrYeY_-Ld3x-QKSiYouqKYVnhfmqxh1etG9-1162InD/s320/statis3.jpg

2. Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikxnJKlF0-Zj70Z2K1w4RmJ8NABYC0-E6lka8i0bSTsSxo-k8mUBbWxMnm3oH6T0E66zdgMB7Z0w9rHb-4piu3aoVsz6E2GSz0ttki0hFe4l6fiXQzebq2NDoxnqwLlxzSi_PUshOIvPHE/s320/statis4.jpg

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Rumus Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSgFVB9Lb4-WGw32cW14u10O5096o2IiFNHNzb5jA2B2HK_QHl3ib_80iiObyU9Vph23OIrOQ-zSn-sy7zpNL5v4gHVUSMgGBruwuyxPpdOdT8PsrvMWxJUsCr_xPO4ff60vA0BUghZKOy/s320/statis5.jpg

b) Data yang Dikelompokkan

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8CJak3EbAkWSXKwV8wvhwFh76nR0J0wYgfiySW4MiB6Thl47bin9MOgXpZCDPSH1p25R_63Me88RP631N9e6iSbE8bGvmh1KnVqQUmxqvXvXn9DzQQmdoBfE6357vXZUoJmA2iT98MAI6/s320/statis6.jpg

Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Rumus Simpangan Quartil

6. Rumus Simpangan baku ( S )

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvDf10GMj-IIaTqs5C1E4pZazgMtXiQwin8NS0tZmh_GwbJpR2itRcHMppiqXGkZYZ4gyYiZCvw-FqPfysYMt3gQnPAKkpXAJQBPOIqonEppqG_GLWXGyUpOywnJczKG22GjmgE47ypVE6/s320/statis9.jpg

Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang ditentukan oleh rumus berikut.

7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOyvOspW1TlSTfUdxbBeNsiRUK6x7n-DpqjuaxTV2Q3tzPPUPbHgLYi5D2NW4dE2WIpRENXFW0brm_iGEQVDFj-beS4VTaQcwsqG5eOoZQaVZOf_3t25H8xKluKOANEq5qOlcpraUow8fg/s320/statis10.jpg

8. Rumus Ragam (R)

BAB 8

PELUANG

A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat
Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.
Baju     : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?
Penyelesaian:
Banyaknya pasangan celana dan baju yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}
2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1
Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
       7!       7×6×5×4×3×2×1
3. —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
       4!            4×3×2×1
3. Permutasi
Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara memilih pengurus ?
Penyelesaian:
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.

Kotak (a) dapat diisi dengan 5 calon karena calonnya ada 5
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan P(5.3) atau 5P3, sehingga:

5P3 = 5 × 4 × 3
      = 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
      = 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
                                                                       (n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
                                                                       (n – r) (n – r – 1) … 3.2.1

           n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr = —————————————————————————
                                 (n – r) (n – r – 1) … 3.2.1

n!
nPr =———
        (n – r)!

b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
         4!
unsur sama ditulis: —
         2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
            n!
P = ——
         k! l! m!

c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Kemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:

P= (n - 1)!
Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?
Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 6! x 2!
                            = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 1440

4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
                     Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
                   = 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
                   = 3 karena urutan tidak diperhatikan
     3P2               3!
3C2 = —— = ————
    2          2! (3 − 2)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil r unsur
                             n
ditulis dengan C atau C(n. r) atau nCr, sehingga:


P n!
nCr =— = ————
r! (n - r)! r!

B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul ketika sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2

2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat jawaban contoh 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
    Jadi banyaknya kejadian ada 5

C. PELUANG SUATU KEJADIAN
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.

n(A)
P(A) = ———
n(S )

Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8               b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
     misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
     A = { }, n(A) = 0
    n(A)          0
     P(A) = ——— = — = 0
     n(S )        6
     Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
     misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
     B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6

                        n(B)      6
     P(B) = ——— = — = 1
                       n(S )    6
    Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1

Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1

3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.

Fh = n × P(A)

Contoh
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
           n(A)     3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × — = 90 kali
           n(S)        8

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
     A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil
     A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
      n(A)           3          1
     P(A) = ——— = — = —
         n(S )     6        2

b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
     B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga

         n(B)       3 1
     P(B) = ——— = — = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
         n(S )     6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:

P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)

5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)

c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
     P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
    P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
       P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
      P(A)

BAB 9

LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

A. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2

B. Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

B. Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran

Kedudukan Titik Pada Lingkaran

Letak K (m,n) terhadap X²+Y² +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran

nilai kuasa K = m²+n² +Am + Bn +C,

§ K < 0

di dalam lingkaran

§ K= 0

pada lingkaran

§ K > 0

di luar lingkaran

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Rumus:

$y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}$ atau $y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}$

BAB 10

TRANSFORMASI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)

2. Refleksi(Pencerminan)

3. Rotasi(Perputaran)

4. Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

· a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

· b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

· terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)

· terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)

· terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

· terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)

· terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

· terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)

· terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Jika m = tan θ maka:

ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi	Matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0 -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
P	é-1 0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0 -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
Q	écosq -sinq ù ësinq cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

· +90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

· +270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

· +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

· dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)

· dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :

Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASI

merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :

1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.

3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.

4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI

Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

BAB 11

TURUNAN

Turunan adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan dan contoh
Jika

dengan C dan n konstanta real, maka :

Jika y = C dengan

Jika y = f(x) + g(x) maka

Jika y = f(x).g(x) maka

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLZMDF16zMbM22HDOr9hQSetOm_fv66feaK1pwDA6fQiVJN8y4h8AE6D_cm0efgTYLMjaz0X3cuVbaFT6Q-GOpHrpqFeKOQcsRZ4M6uk2cn6VEbRON6K9a1HDJielIn4So2Qvj6jWF7ziy/s320/10.PNG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkQsCCy9RatlWTK-dIDMZSEEvJbWFQeCEs3-d6RhgZOQMmdGiR4IlXfY3dD_ZvjxJXtBKQHuCyawM-ONcKDXm12_Z8C1b8augoJCbfajuelYQ_pohK73hpLkXDiNSZNsHotByEFUbEjesW/s320/11.PNG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifaD6HNzux9eUZu2mNk3M17t0s_RvvAg4OCi7PIvWpNeEjKGU8OFAo3WExIReGhwbgHZFV75Y6pBnoPJzHUviOuIJh-ai0I_7IMr44HQzyd47N3R1WdmnGMH-EXJUNHBr0E5vyv2RCjmFR/s320/12.PNG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXASnvEP9CCq0nZgtmA54fWBPqWaNzZjpvpfJre05_0cVb5RMppehs8hP7T5CUhjxqmx_5D5S63cbjVd-p8moxghO_Qioejx_WCGoe6TCvb4m8T7iXtgIYrc7PubtZmLf5v7-dliktT0xu/s320/13.PNG

Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Trigonometri adalah :

http://image.slidesharecdn.com/integralpp-141030175518-conversion-gate01/95/integral-sma-kelas-xii-ipa-9-638.jpg?cb=1414709834

http://image.slidesharecdn.com/integralpp-141030175518-conversion-gate01/95/integral-sma-kelas-xii-ipa-12-638.jpg?cb=1414691834

Turunan Kedua

Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan

. Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMJGOfYJgKhoTbwAxs3ywTIUWNi8hTfZCPUjV7VT6fuLBHOgJKDKKmcgYvWBUq2vtOsVWjnKdMe0nRKoFmzOAralvNInQXVg5MvzQajARnYmCmLM3g45qIZY681C30TTrghS9cVqEFiWK7/s320/15.PNG

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5. $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D$ maka $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27v-uv%27%7D%7Bv%5E%7B2%7D%7D$

Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29+v%28x+h%29-%5Cleft%20%5b%20u%28x%29+v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29+v%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D+%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

f '(x) = u'(x) + v'(x)

Sifat 2 :

f(x) = u(x) - v(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-v%28x+h%29-%5Cleft%20%5b%20u%28x%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29-%5Cleft%20%5b%20v%28x+h%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D-%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D$

f '(x) = u'(x) - v'(x)

Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bc.u%28x+h%29-c.u%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20c%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D%20%5Cright%20%29$

f '(x)=c.u'(x)

Sifat 4 :
f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29.v%28x+h%29-u%28x%29v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29.v%28x+h%29-u%28x%29v%28x+h%29+u%28x%29v%28x+h%29-u%28x%29v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%5b%20u%28x+h%29-u%28x%29%20%5Cright%20%5dv%28x+h%29+u%28x%29%5Cleft%20%5b%20v%28x+h%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%5b%20u%28x+h%29-u%28x%29%20%5Cright%20%5dv%28x+h%29%7D%7Bh%7D$

Sifat 5

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D%20&maka%20&f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29v%28x%29-u%28x%29v%27%28x%29%7D%7Bv%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D$

Karena
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D$
maka

sehingga

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29-f%28x%29.v%27%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29-%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D.v%27%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D$
Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29v%28x%29-u%28x%29v%27%28x%29%7D%7Bv%5E%7B2%7D%28x%29%7D$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

· gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m

· gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b

· gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

· jika saling sejajar maka m1=m2

· jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Tentunya kalian masih ingat dengan topik sebelumnya tentang menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Pada topik ini, kalian akan belajar tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum.

Definisi 1 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan x = c merupakan anggota Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum fungsi f pada Df jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di Df

2. f(c) adalah nilai minimum fungsi f pada Df jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di Df

3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau minimum fungsi f di Df

Definisi 2 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan interval (a,b) merupakan himpunan bagian dari Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai maksimum fungsi f pada (a,b)

2. f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai minimum fungsi f pada (a,b)

3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika f(c) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal fungsi f[/important

Lalu, kapan terjadi nilai ekstrim lokal?

Kalian dapat menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan nilai ekstrim lokal.

Jika fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat x = c, maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1. Jika f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal f

2. Jika f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai minimum lokal f

3. Jika f'(x) pada selang (a,c) dan (c,b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrim lokal f

Agar lebih jelas, mari perhatikan gambar di bawah ini.

BAB 12

INTEGRAL

Integral merupakan sebuah konsep penting dalam matematika yang seringkali menjadi kelemahan tidak sedikit orang. Agar dapat paham dengan integral sampai integral berkelanjutan, anda pertama harus paham integral dasarnya dulu. Pondasi dari semua integral lanjutan, misalnya saja agar dapat paham integral parsial, integral tentu, integral tak tentu, dll yang akan saya berikan penjelasannya di artikel berikutnya.

Jika diberikan suatu fungsi f dari variabel x dengan interval [a,b] maka integral tertentunya dapat ditulis seperti gambar diatas. Sedangkan kurva untuk integral tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Kurva diatas dapat didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, sumbu y, garis x=a dan garis x=b, dimana daerah diatas sumbu x bernilai positif dan daerah dibawah sumbu x bernilai negatif.

Integral juga biasa digunakan untuk merujuk anti turunan. Jika terdapat sebuah fungsi F yang mempunyai turunan f maka kasus seperti ini disebut integral tak tentu yang dapat dinotasikan sebagai berikut.

Jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a,b] dan jika anti turunan F dari f diketahui maka integral tertentu dari f pada interval yang telah diketahui dapat didefinisikan sebagai.

Berikut ini beberapa rumus dasar integral

Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Dalam mencari nilai integral kita dapat menggunakan beberapa cara, diantaranya :

1. Substitusi

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

2. Substitusi Trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

3. Integral Parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Jika kita menemukan bentuk penjumlahan atau bentuk pengurangan integral dapat dirubah seperti berikut ini.

Integral Parsial
Prinsip dasar integral parsial :

a. Salah satunya dimisalkan U

b. Sisinya yang lain (termasuk dx) dianggap sebagai dv

Sehingga bentuk integral parsial adalah sebagai berikut :

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiU8r0scPeCaaWWeXds_6PLPh1phEskhOsQ2TIFL5MP_DSswyH3ZtppGVQQwT0xyn9yWxoYuzC0PrwqujgGGAMyxm7KzdtcGRE_-8-GFOKeYCpM-amVXtzdWEWoyYgzDy8xvMqESlzJX8TZ/s320/23.PNG

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi

, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Integral Tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Riemann.gif/250px-Riemann.gif

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n
- 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah nsubinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_i_-
1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikanƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_k_-
1, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan

Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Contoh Soal :

1. 1. Jika Diketahui

Maka integralnya adalah . . .
Jawab,

2. Jika Diketahui :

Maka Tentukanlah Integralnya . . .

Jawab,

3. Jika Diketahui :

Maka Tentukan Integralnya . . .

Jawab,

4. Jika Diketahui :

Maka tentukan Integralnya . . .

Jawab,

Cari Blog Ini

zahid ahmad faiz